bon alors voilà, j'ai vu plusieurs fois sur le forum, qu'on parlait de rapport entre les fretes... d'un 17,8... etc
je sais pas comment vous avez su ça... si c'est du bouche à oreille... ou si c'est vérifié... si c'est trouvé expérimentalement... etc
ce que je vous propose, c'est un petit calcul mathématique pour le retrouver
pour cela, on va d'abord fixer quelques paramètres :prenons la longueur de la première case appelée p. (entre la frete 0 et la frete 1)
et le diapason moyen L
Hypothèses# 1ere hypothèse : la 12e frete est exactement au milieu, à L/2 du sillet
# 2eme hypothèse : la 5e frete est exactement au quart, à L/4 du sillet
# 3eme hypothèse : Nous admettons que pour passer d'une case à la suivante, il y a un coefficient de réduction R constant,
donc si la première case vaut p, alors la seconde est égale à p*R, la troisième est égale à la seconde multipliée par le coefficient de réduction donc la troisième vaut p*R², la quatrième égale à p*R^3 ... etc...
(le signe ^ signifie une puissance... R^3 = R*R*R)
Plus généralement, la Nième case est égale à p*R^(n-1)
or, nous savons que la 12ème frète est située à la moitié de la corde, donc à L/2 (1ere hypothèse)donc L/2 = somme des 12 premières cases...
> L/2 = p + p*R + p*R² + p*R^3 + p*R^4 + p*R^5 + p*R^6 + p*R^7 + p*R^8 + p*R^9 + p*R^10 + p*R^11 donc
c'est a dire
L/2 = p ( 1 + R + R² + R^3 + R^4 + R^5 + R^6 + R^7 + R^8 + R^9 + R^10 + R^11 ) d'autre part, la 5ème frète est située au 1/4 de la corde (2eme hypothèse)donc L/4 = p + p*R + p*R² + p*R^3 + p*R^4
c'est a dire
L/4 = p ( 1 + R + R² + R^3 + R^4 )or, L/4 = L/2 - L/4
donc
L/4 = p ( 1 + R + R² + R^3 + R^4 + R^5 + R^6 + R^7 + R^8 + R^9 + R^10 + R^11 ) - p ( 1 + R + R² + R^3 + R^4 )c'est à dire
L/4 = p ( R^5 + R^6 + R^7 + R^8 + R^9 + R^10 + R^11 )donc, nous pouvons affirmer que L/4 = L/4
c'est a dire que
p ( 1 + R + R² + R^3 + R^4 ) = p ( R^5 + R^6 + R^7 + R^8 + R^9 + R^10 + R^11 ) on simplifie par p et on trouve :1 + R + R² + R^3 + R^4 = R^5 + R^6 + R^7 + R^8 + R^9 + R^10 + R^11
d'où le polynôme de degré 11 :1 + R + R² + R^3 + R^4 - R^5 - R^6 - R^7 - R^8 - R^9 - R^10 - R^11 = 0 !
et avec la calulette, nous ne trouvons qu'une solution :
R = 0.94496074 (environ) Trouvons maintenant la valeur p de la première case :
Nous savons que:
L/2 = p ( 1 + R + R² + R^3 + R^4 + R^5 + R^6 + R^7 + R^8 + R^9 + R^10 + R^11 )
donc
L * 1/p = 2 ( 1 + R + R² + R^3 + R^4 + R^5 + R^6 + R^7 + R^8 + R^9 + R^10 + R^11 )
on remplace R par 0.94496074 et on a L * 1/p = 17.9162995012 donc p = L/17.9162995012
on retrouve donc ce fameux 17,des poussières...
prenons maintenant une longueur L = 65cm par exemple
>> Nous avons une première case égale à p = 3.62798... cm disons 3.62cm (on va tronquer à chaque fois, pour simplifier)
la 2eme case fait 3.62 * R = 3.62 * 0.94496074 = 3.42 ainsi de suite ...
Et voilà les 12 premières mesures... : 3.62
3.42
3.23
3.05
2.88
2.72
2.57
2.43
2.30
2.17
2.05
1.93
VérificationSi on fait la somme des 12 premières cases, on se retrouve avec 32.37cm qui devrait être la moitié de la corde (32.5cm) ce qui est tout a fait normal du fait que l'on ait tronqué toutes les valeurs !
Pour résumer la première frete en partant du manche est située à p = L/17.9162995012 et le rapport de réduction entre l'espacement entre 2 fretes est de R = 0.94496074
voilà voilà...
je sais pas si ça peut éclaircir certaines choses...
surtout que finalement, on a des risques d'erreur... notamment parce qu'on a pris un diapason moyen...
et aussi parce que la musique, c'est de la physique vibratoire, mais c'est aussi quelque chose qu'on entend avec nos oreilles, et de ce fait, ça ne peut pas être mathématiquement juste!
ps > si le sujet a déjà été traité ou autre... n'hésitez pas à fermer, voire supprimer ce post hein ;)
bonne soirée
Gaël
" - Merling
